Классификация функций по аналитическому выражению

Методы задания функций

1. Аналитический: состоит в задании функции при помощи формулы либо аналитического выражения.

· Очевидное задание функции

1) при помощи 1-го аналитического выражения: , под областью определения понимают естественную область определения функции;

2) при помощи нескольких аналитических выражений , под областью определения понимают объединение областей определения всех функций

3) в другой системе координат (полярной): ,

О

Примеры: спираль Архимеда ,

окружность Классификация функций по аналитическому выражению где R – радиус окружности;

кардиоида и др.

Связь полярной и декартовой систем координат выражается системами уравнений

При построении графика функции в полярной системе координат бывают полезными последующие утверждения:

· если , график симметричен относительно полярной оси;

· если , график симметричен относительно полюса;

· если - линия замкнута;

· если , тогда кривая состоит Классификация функций по аналитическому выражению из n частей, получаемых друг из друга поворотами на углы вида .

· Неявное задание функции: задание функции при помощи уравнения с 2-мя переменными F(x;y)=0. Пример: – уравнение окружности с центром в точке (0;0) и радиусом R; неявное уравнение эллипса , где a и b – полуоси, неявное уравнение астроиды .

· Параметрическое задание функции: обе переменные x и Классификация функций по аналитическому выражению y выражаются через третью переменную – параметр t,

Уравнение окружности в параметрическом виде ,

Уравнение эллипса в параметрическом виде ,

Уравнение циклоиды в параметрическом виде ,

Уравнение астроиды в параметрическом виде ,

2. Табличный: состоит в задании функции при помощи таблицы .

3. Графический: состоит в задании функции при помощи графика. Графиком функции именуется огромное количество точек, вида (x Классификация функций по аналитическому выражению;f(x)). График функции представляет собой некую кривую на плоскости, но не всякая кривая является графиком какой-нибудь функции. К примеру, единичная окружность не является графиком функции, потому что хоть какому соответствуют два разных значения у.

4. Словесный(описательный): задание функции при помощи указания какого-нибудь характеристического характеристики, которым Классификация функций по аналитическому выражению владеют ее значения.

Пример 1: Функция у равна целой части (реального) числа х, другими словами равна большему целому числу, не превосходящему х. Целую часть числа х принято обозначать [х] (антье икс). Из определения антье следует, что . Воспользовавшись обозначением антье, данную функцию можно задать и аналитически: у=[х]. В конце Классификация функций по аналитическому выражению концов, эту же функцию можно задать графически: (стрелочки означают, что правые концы отрезков не принадлежат графику (а левые принадлежат).

Функция, в какой каждому x соответствует его дробная часть, именуется дробной частью числа .

Пример 2. Функция у равна 1, если х - положительное число, равна -1, если х - отрицательное число, равна 0, если х=0. Эта функция имеет особое Классификация функций по аналитическому выражению обозначение у=sgn х (сигнум икс). Ту же функцию можно задать и аналитически, при этом различными формулами:

либо

В конце концов, для функции y=sgn x можно выстроить график:

Пример 3: Функция Дирихле либо

Систематизация функций по аналитическому выражению

Все функции разделяются на алгебраическиеинепознаваемые.Функция именуется алгебраической, если существует таковой многочлен P Классификация функций по аналитическому выражению(x;y)=0, таковой что

Посреди алгебраических функций выделяют:

1. Целые оптимальные функции:функции,данные целыми оптимальными выражениями (независящая переменная, операции сложения, умножения, деление на число) – многочлены n-ной степени:

2. Дробно – оптимальные функции: функции, данные дробно-рациональными выражениями (независящая переменная, операции сложения, умножения, деление на переменную) – вид:

3. Иррациональные функции: функции Классификация функций по аналитическому выражению, данные при помощи иррационального выражения (добавляется операция извлечения корня n-ной степени из неведомой)

Непознаваемые функции: функции, данные при помощи непознаваемых выражений (cos x, sin x, tg x, ctg x, lg x, и т.д.)

Функции подразделяют также на главные простые, простые и неэлементарные. Кглавным простым функциям относятся последующие функции Классификация функций по аналитическому выражению:

1. Степенная функция у = ха (а - неизменное действительное число). При а=0 степенная функция есть неизменная величина у=1; при а=1 выходит функция у=х (ровная пропорциональная зависимость). Если а=2, то степенная функция у=х2 является квадратичной, а если а=-1, то выходит назад пропорциональная зависимость .

2. Показательная функция у = ах (а – неизменное положительное число, ). Необыкновенную роль в арифметике Классификация функций по аналитическому выражению играет показательная функция с основанием е, другими словами функция у = ех. Число е - иррациональное число (так же, как и число p - иррациональное), его можно записать в виде нескончаемой непериодической дроби: е=2,7182818284590.... Функцию у =ех именуют экспоненциальной функцией. Время от времени эту функцию записывают и так: у=exp x.

3. Логарифмическая Классификация функций по аналитическому выражению функция у = loga х (а - неизменное положительно число, ). На практике нередко употребляются логарифмы по основанию а=10 либо десятичные логарифмы. Для десятичного логарифма принята сокращенная запись lg х. Основание а=е также играет необыкновенную роль (как и показательных функциях), потому логарифм по основанию а=е обозначают особым образом Классификация функций по аналитическому выражению ln х и именуют натуральным логарифмом числа х.

4. Тригонометрические функции у=sin х, у=соs х, у=tg х, у=ctg х, у=sec x, у=соsec х. Напомним, что функции , , функция секанс x и функция косеканс х.

5. Оборотные тригонометрические функции у=arcsin х, у=arccos х, у=arctg х, у=arcctg Классификация функций по аналитическому выражению x.

Функции, которые получаются из главных простых функций помощью конечного числа арифметических операции (сложения, вычитания, умножения, деленияи извлечения корня n-ной степени) и композиции функций, именуются простыми функциями.

Композицией функций (функцией от функции, сложной функцией) именуется функция либо аргументом которой является некая простая функция , x – независящая переменная.

Примеры сложных функций Классификация функций по аналитическому выражению: у=соs2х, у=sinx2, y=sin2x.

Заметим, что функции у=[х] и у=sgn х не являются простыми в смысле определения, данного выше.


klassifikaciya-konstrukcionnih-materialov.html
klassifikaciya-korablej-voenno-morskih-sil.html
klassifikaciya-korrozionnih-sred.html